Question

设x1=√3,x(n+1)=√3+xn,n=1,2证明收敛，并求极限

Answer 1

过程：由条件，和数学归纳法得：Xn小于3时，Xn+1也小于3（因为根号(3+2x3）<3）。又由于X1=1<3所以Xn是一个小于3的数列（有上界）。然后证明它是递增的，用Xn+1/Xn然后把分母写进根号里变成一个二次函数根的问题，可以算出在（0,3），大于1。所以Xn在（0,3）上面递增。有上界，又递增，所以有极限。

求极限的话，直接代进去题目那个式子求一下就出来了。求出等于3

思路：如果是我做的话，题目要证有极限，说明这个数列有极限。所以先求出理论极限3。然后看一看用什么东西可以证明有极限的。显然在不知道通项公式的情况下，很多方法都用不了。只能用有界单调。之后顺着这个思路想，就理所当然的把题目做出来了。