Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB

延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QCP=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+C=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；
(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=½EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=½AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

Answer 2

1）
∠BQD=30°，∠ABC=60°
根据三角形外角定理有：
∠BQD+∠BDQ=∠ABC
所以：30°+∠BDQ=60°
解得：∠BDQ=30°
所以：∠BQD=∠BDQ
所以：BD=BQ=2t
所以：AD=AB-BD=6-2t
所以：DE=AD-AE=6-2t-t=6-3t
因为：∠BDQ=∠EDP（对顶角）
所以：∠EDP=30°
所以：PE=DE/√3=AP×(√3/2)
所以：DE=(3/2)AP=6-2t
所以：(3/2)×2t=6-2t
解得：t=1.2
所以：AP=2t=2.4
所以：AP=2.4

第三小题如下

对不对？对就采纳，我也是初二学生。探讨探讨

不变
当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=½EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=½AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

简单点
DE不变，证明如下：
过点Q作QF⊥AB延长线于F，如图；
∵P、Q速度相同，∴QF=AP
对于等边△ABC，有∠A=∠ABC=60°
∴∠QBF=∠ABC=∠A=60°，又有∠F=∠AEP=90°
∴△APE≌△BQF(A.S.A)
∴QF=PE，AE=BF
同样地，△QFD≌△PED(A.S.A)
∴DE=DF
∴2DE=DE+DB+BF=DE+DB+AE=AB=6
∴DE≡3