Question

已知函数f(x)=x³＋ax²＋bx＋c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点，且在x=±1处切线的斜率为-1

已知函数f(x)=x³＋ax²＋bx＋c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点，且在x=±1处切线的斜率为-1，给出结论(1)f(x)的解析式为f(x)=x³-4x,x∈[-2,2] (2)f(x)的的极值点有且只有一个(3)f(x)的最大值与最小值之和等于0
其中正确的有( )个
A.0 B.1 C.2 D.3

Answer 1

x=0 y=0代入曲线方程，解得c=0
f(x)=x³+ax²+bx
f'(x)=3x²+2ax+b
f'(1)=3+2a+b=-1 (1)
f'(-1)=3-2a+b=-1 (2)
(1)+(2)
2b+6=-2
b=-4
(1)-(2)
4a=0
a=0
函数解析式为f(x)=x³-4x x∈[-2，2]，结论(1)是正确的。
f'(x)=3x²-4
令f'(x)=0 3x²-4=0 x²=4/3 x=2√3/3或x=-2√3/3
-2≤x≤-2√3/3时，f'(x)≥0，函数递增；
-2√3/3<x<2√3/3时，f'(x)<0，函数递减；
2√3/3≤x≤2时，f'(x)≥0，函数递增；
f(-2)=-8+8=0
f(2)=8-8=0
由函数单调递增、递减区间得x=-2√3/3时，函数有最大值，x=2√3/3时，函数有最小值。
极值点有两个，结论(2)是错的。
f(x)+f(-x)=x³-4x+(-x)³-4(-x)=x³-4x-x³+4x=0 (为了简化计算，没有具体代入x=-2√3/3，x=2√3/3)
结论(3)是正确的。

综上，选C，正确的结论有两个。