Question

已知函数f(x)=loga[x+(根号x^2+1)](a>0,且a≠1，x∈

已知函数f(x)=loga[x+(根号x^2+1)](a>0,且a≠1，x∈R)
（1）判断f（x）奇偶性（2）若g(x)的图像与曲线y=f(x)(x≥3\4)关于y=x对称，求g(x)的解析式和定义域。（3）若g(n)<(5^n-5^-n次方）\2 对于任意的正整数n恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

已知函数f(x)=loga[x+√(x²+1)](a>0,且a≠1，x∈R)
(1).判断f（x）奇偶性（2）若g(x)的图像与曲线y=f(x)(x≥3/4)关于y=x对称，求g(x)的解析式和定义域。(3).若g(n)<(5ⁿ-5⁻ⁿ)/2 对于任意的正整数n恒成立，求a的取值范围。
解：定义域：x∈R；值域：y∈[1，+∞)；
f(-x)=log‹a›[-x+√(x²+1)]=log‹a›{1/[x+√(x²+1)]}=log‹a›[x+√(x²+1)]⁻¹=-log‹a›[x+√(x²+1)]=-f(x)，
故f(x)是奇函数。
(2)。a^y=x+√(x²+1)，a^y-x=√(x²+1)；(a^y-x)²=x²+1，a^(2y)-2xa^y-1=0，故得x=[a^(2y)-1]/2a^y；
交换x、y，即得y=g(x)=[a^(2x)-1]/(2a^x)=[a^x-a^(-x)]/2，其图像与y=f(x)的图像关于直线y=x对称。
(3)。g(n)=(aⁿ-a⁻ⁿ)/2<(5ⁿ-5⁻ⁿ)/2，即有aⁿ-a⁻ⁿ<5ⁿ-5⁻ⁿ对任意正整数n恒立；不难直接看出a的
取值范围为0<a<5.
或用导数判断：设y=a^x-a^(-x)，由于a>1时y′=[(a^x)+a^(-x)]lna>0，y=a^x-a(-x)是增函数，故应
取a<5；当0<a<1时y′<0，y=a^x-a^(-x)是减函数，x∈N，x=1时ymax=a-(1/a)<0，而5ⁿ-5⁻ⁿ>0，
故aⁿ-a⁻ⁿ<5ⁿ-5⁻ⁿ成立；当a=1时，aⁿ-a⁻ⁿ=0，故aⁿ-a⁻ⁿ<5ⁿ-5⁻ⁿ也成立。因此应取0<a<5.