Question

设向量组a1,a2,a3,线性无关。证明：向量组a1-a2-a3，a2-a3，a3也线性无关。

Answer 1

既然a1,a2,a3线性无关，就可以认为他们为基向量，即(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
然后再利用向量的加减法和反证法来证明就可以了啊
a1-a2-a3=(1,-1,-1),a2-a3=(0,-1,-1),a3=(0,0,1)
令a1-a2-a3=k(a2-a3)+m(a3）,推不出这样的k值和m值，所以题目的论点成立嘛

Answer 2

反证法。设a1-a2-a3，a2-a3，a3线性相关，则存在k1,k2,k3使得(a1-a2-a3，a2-a3，a3)k=0,显R(a1-a2-a3，a2-a3，a3)=3,故k只有零解。抑或秩为三，三个向量线性无关。

Answer 3

设有一组实数X1,X1,X3使得x1(a1-a2-a3)+X2(a2-a3）+X3a3=0
则X1a1+a2(X2-X1)+a3(X3-X2-X1)=0
又因为a1,a2,a3是线性无关的所以x1=0,x2-x1=0,x3-x2-1=0
所以x1=x2=x3=0;
所以向量组a1-a2-a3，a2-a3，a3也线性无关。