Question

已知函数f(x)的定义域是(-∞，0）∪（0，﹢∞）对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)

且当x>1时，f(x)>0
(1）求证：f(x)是偶函数
（2）求证f(x)在(0,+∞）上是增函数
（3）试比较f(-5/2)与f(7/4)的大小

Answer 1

　　证明:由f(x)的定义域可知x≠0
(1)令x1=x2=1得f(1)=f),
　　令x1= -1, x2=1
　　f(-1)=f(-1)+f(1) ,
　　f(-1)=0
　　令x1= -1 ,f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
　　f(-x2)=f(-1)+f(x2)
　　f(-1)=0
　　所以f(x)是偶函数；（3分）

　　(2)设在(0,+∞）内有 0<x1<x2,则 x2/x1>1
　　f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1),
　　当x>1时，f(x)>0, 所以x2/x1>1,f(x2/x1)>0
　　f(x2) -f(x1)= f(x2/x1)>0
　　(x2) >f(x1)
　　f(x)在(0,+∞）上是增函数
　　(3)f(x)是偶函数,所以有f(5/2)=f(-5/2), 5/2>7/4
　　由在(0,+∞）上是增函数得
　　f(-5/2)>f(7/4)