Question

已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0),是定义在R上的函数,其图像交x轴于A,B

已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0),是定义在R上的函数,其图像交x轴于A,B,C三点,若B坐标为(2,0),且F(x)在[-1,0]和[4,5]上单调性相同,在[0,2]和[4,5]上单调性相反.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

依题意f(x)在［-1,0］和［0,2］上有相反的单调性.

所以x=0是f(x)的一个极值点.

故f′(0)=0,得c=0.

(2)令f′(x)=0,得3ax2+2bx=0.

解得x1=0,x2=-2b/3a.

因为f(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性,

所以f′(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的符号.

故-6≤b/a≤-3.

假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b,

即3ax02+2bx0-3b=0.

因为Δ=(2b)2-4×3a(-3b)

让Δ>0解得b/a>0或b/a<-9

所以与上面b/a的范围矛盾，所以不成立，方程无解，自然这样的M点不存在。
故不存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b
补充：
如果你看不懂-6<b/a<-3怎么来的。你想想一个极值点是0，另一个极值点一定大于2且小于4.就是用
2<-2b/3a<4解出来的。