Question

已知函数f(x)=x2+ax+b,且对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立。

利用单调性定义证明函数f(x)在区间【1，正无穷）上是增函数

Answer 1

由已知，函数图像的对称轴为 x=1 ，
所以 -a/2=1 ，则 a= -2 ，
因此 f(x)=x^2-2x+b ，
设 1<=x1<x2 ，
则 f(x1)-f(x2)
=(x1^2-2x1+b)-(x2^2-2x2+b)
=(x1-x2)(x1+x2-2) ，
由 x1<x2 得 x1-x2<0 ，
由 x1>=1 ，x2>1 得 x1+x2-2>0 ，
因此 f(x1)-f(x2)<0 ，
即 f(x1)<f(x2) ，
所以，函数在 [1，+∞）上为增函数 。

Answer 2

证明由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的对称轴x=1所以a=-2,所以f(x）=x^2-2x+b,设1<=x1<x2,即x1+x2-2>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2+2*(x2-x1)=(x1+x2-2)(x1-x2)<0,所以命题得证。