Question

f(x)=x^2 - 1 ，对于任意x属于[2/3 ，+无穷大]，都有 f(x/m) - 4m^

f(x)=x^2 - 1 ，对于任意x属于[2/3 ，+无穷大]，都有
f(x/m) - 4m^2 *f(x) ≤ f(x-1) + 4 f(m) 恒成立，求m的取值范围。

答案为 (-无穷大，-2分之根号3]并[2分之根号3，+无穷大)

Answer 1

f(x/m)-4m^2*f(x)≤f(x-1)+4f(m)
化简得，x^2/m^2 -1 -4m^2 x^2 ≤ x^2-2x -4
（1/m^2-4m^2-1)x^2≤-2x-3
1/m^2-4m^2-1≤（-2x-3）/x^2 恒成立
令y=（-2x-3）/x^2= -2(1/x)-(3/x^2）
∵x≥2/3
∴1/x ≥3/2
因为y在[3/2，+无穷）上单调增
所以 在x=3/2 取得最小值 -8/3

所以 1/m^2-4m^2-1≤-8/3
12m^4-5m^2-3≥0
（4m^2-3)(3m^2+1）≥0
所以4m^2-3≥0

答案就出来了

Answer 2

f(x)=x^2-1,f(x/m) - 4m^2 *f(x) ≤ f(x-1) + 4 f(m)

即(x/m)^2-1-4m^2(x^2-1)≤（x-1)^2-1+4(m^2-1),
∴x^2/m^2-4m^2x^2+4m^2≤x^2-2x+1+4m^2-4,
整理得(1/m^2-4m^2-1)x^2+2x+3≤0对3/2≤x恒成立，(改题了）
分离参数得 1/m^2-4m^2-1≤-(2/x+3/x^2)对3/2≤x恒成立,①
0<1/x≤2/3,
∴2/x+3/x^2≤8/3,于是①变为
1/m^2-4m^2-1≤-8/3,
整理得(12m^4-5m^2-3)/m^2≥0,m^2>0,
（4m^2-3)(3m^2+1)≥0,3m^2+1>0,
∴m^2≥3/4,
∴m≥√3/2或m≤-√3/2.