Question

如图在三角形ABC中角ACB等于90度AC等于BC,点D为AB的中点,（1）若E,F分别是AC

如图在三角形ABC中角ACB等于90度AC等于BC,点D为AB的中点,（1）若E,F分别是AC,BC上的点,且AE等于CF,求证;DE丄DF;（2）若E,F分别为CA,BC延长线上的点,仍有AE等于CF,其他条件不变,问DE丄DF吗？请说明理由。

Answer 1

这道题要做辅助线，连接CD，
因为∠C=90，且AC=BC,所以∠A=45，
又因为D为AB中点，所以CD=AD,且∠FCD=45
在△CDF和△ADE中，AD=CD,∠FCD=∠A，CF=AE，所以这两个三角形全等（SAS），所以有∠CFD=∠AED
又因为∠AED+∠CED=180，∠CFD+∠CED=180,又因为∠C+∠CFD+∠CED+∠EDF=360，所以∠C+∠EDF=180
又因为∠C=90，所以∠EDF=90，所以DE⊥DF

追答

仍然有

理由如下

Answer 2

1.连接CD
∵AC=BC,AE=CF
∴∠A=∠B,CE=BF
又∵D为AB中点
∴CD=AD=BD(等腰三角形,三线合一)
∴△CED≌△BFD(两边一夹角)
∴∠CDE=∠BCF
又∠BDC=∠BDF+∠FDC=90°(刚刚三线合一可以证明CD⊥AB)
即∠CDE+∠FDC=∠FDE=90°
故DE⊥DF
2.同题一,只是中间夹角不一样
∠FCD=∠FCA+ECD=90°+45°=135°(45°是应为CD为角平分线)
∠EAD=180°-∠DAC=180°-45°=135°
∴△CFD≌△BED
∴∠CDF=∠ADE
又∠ADC=∠CDF+∠ADF=90°(刚刚三线合一可以证明CD⊥AB)
即∠ADE+∠ADF=∠FDE=90°
故DE⊥DF