Question

已知函数fx=e的x次方-ln（x+m）, （1）设x=0是fx极值点，求m，并讨论fx单调性

2）当m≤2时，证明fx＞0

Answer 1

（1）f(x)=e^x-ln(x+m),
f'(x)=e^x-1/(x+m).
x=0是f(x)的极值点，
∴f'(0)=1-1/m=0,解得m=1.
f''(x)=e^x+1/(x+1)^2>0,
∴f'(x)是增函数，-1<x<0时f'(x)<0,f(x)是减函数；x>0时f'(x)>0,f(x)是增函数。
（2）m<=2时f(x)>=e^x-ln(x+2),记为g(x),
g'(x)=e^x-1/(x+2),
g''(x)e^x+1/(x+2)^2>0,
∴g'(x)是增函数，只有一个零点x0。
g'(-0.5)=-0.06,g'(-0.4)=0.045,
∴-0.5<x0<-0.4,
g(x)的最小值=g(x0)>e^(-0.5)-ln(-0.4+2)≈0.136>0,
∴命题成立。