Question

求高中数学解答 我看了没明白这里的参数分离什么意思 为什么这么做

若函数f<x>=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间《1，3》上为单调函数，则实数a的取值范围是？ f'(x)=x²+2ax+5
∵f（3）在（1，3）上为单调函数，∴f'(x)≤0或f’（x）≥0在（1，3）上恒成立。
令f'(x)=0即x²+2ax+5)=0 则a=-（x²+5）/2x
设g(x)=-（x²+5）/2x 则g’（x）=（5-x²）/2x²
令g’（x）=0得：x=√5或x=-√5（舍去）
∴当1≤x≤√5时，g’（x）≥0，当√5≤x≤3时，g’（x）≤0
∴g（x）在(1,√5）上递增，在（√5，3）上递减,
g（1)=-3 g(3)=-7/3,g(√5）=-√5
∴g(x)的最大值为g(√5）=-√5，最小值为g（1)=-3
∴当f'(x)≤0时，a≤g(x)≤g（1)=-3
当f’（x）≥0时，a≥g(x)≥g(√5）=-√5
∴a≤-3或a≥-√5
此方法为数学上的分离参数法，还有一种方法叫分类讨论法，但比较麻烦，不再详细讨论。

Answer 1

分离参数法或称参变分离方法是求参数取值范围的一种常见方法，其不是万能的（不展开了）。
具体到你的题目，我们只考虑f’（x）≥0情况（f’（x）≥0类似）
因f’（x）≥0在（1，3）上恒成立，即x²+2ax+5≥0恒成立，也即a ≥ -( x²+5)/2x在(1, 3)上恒成立
即a 大于等于函数-( x²+5)/2x在(1, 3)上的最大值。利用对勾函数的性质，不难知-( x²+5)/2x在x = √5时取最大值，即a ≥ -[ ((√5)² + 5)/2 √5] = -√5

Answer 2

这个问题的根源是
问题：若对于任意x∈[1，3]，有x+（5/x）+2a≥0恒成立，求a的取值范围。
解：不等式恒成立，即左边最小值≥0，即2√5+2a≥0，得a≥-√5
本题可以转化为这类型问题。【x＞0】
x²+2ax+5≥0，分离出独立的a，只需要同除以x即可，而x＞0无需讨论不等号
得x+2a+（5/x）≥0
同理x²+2ax+5≤0，得x+（5/x）+2a≤0