Question

如图2，四边形abcd中， ab与cd不平行。ab不等于cd.

过a画出四边形的面积等分线。

Answer 1

首先抱歉，我不能上传图片，因为最近已经连续三次因为上传图片导致回答失效，投诉无用~~~所以为了能让大家看到我的答案，希望我说得尽量清楚。

既然没说等分线是那种类型，我就默认是直线了。
过a的平分线的另外一个端点落在cd或者bc上，取决于四边形的形状，但做法是一样的，我就以平分线的另外一个端点落在cd为例。
思路如下：1）首先去cd中点e连接ae，ae平分△acd
2）然后在ce上找到点f，使得S△afe=1/2S△abc，这样S△afd=1/2S△abc+1/2S△acd=1/2Sabcd，即af为四边形的面积等分线。

3）所以问题转化为如何确定ef的长度：
过a做ag//bc，取bc中点h，过h做hi//cd交ag于i
∴gi=ch=1/2bc

∵平行线间的距离相等
∴△cgi与△abc等高
∴在梯形abcg中S△cgi=1/2S△abc

4）然后，来看△acg，需要在cg上找到一点j，使得S△agj=S△cgi=1/2S△abc=S△afe，这样gj=ef，就是我们要确定的ef的长度：
过点i做ij//ac交cg于j（这个j就是我们要找的j，下面证明这一点）
∵ij//ac
∴gi/ga=gj/gc
∵在△acg中，S△agj/S△acg=gj/gc（两三角形有共同顶点a，等高）
∴S△agj/S△acg=gj/gc=gi/ga=S△cgi/S△acg（两三角形有共同顶点c，等高）
∴S△agj=S△cgi，即j是我们所需要的点

5）总结说来，首先通过步骤4）、5）找到长度gj；然后根据步骤1）找到点e；最后以e为一个端点在ec上作ef=gj，连接af，则af是四边形的面积等分线。
如果此时发现gj>ec，f会落在dc延长线上，那么说明过a的平分线的另外一个端点应该落在bc上，那么就需要重复以上步骤，在bc上找到点f，确定四边形的面积等分线。