Question

设矩阵A=（1 k -1 2；2 -1 k 5；1 10 -6 1），对参数k讨论矩阵A的秩

不带参数的我基本都会做，但就是这种带参数的初等行变换不会做，请问做这种带参数化简有什么技巧吗？
大神们求解，在线等

Answer 1

1 k -1 2
2 -1 k 5
1 10 -6 1 第1行减去第3行，第2行减去第3行×2
～
0 k-10 5 1
0 -21 k+12 3
1 10 -6 1
很显然
1 10 -6 1这一行是不可能被消为0的了，
而另外两行之中最多也只能被消去1行，

如果
0 k-10 5 1和0 -21 k+12 3中可以被消去1行的话，
那么肯定某一行是另一行的倍数，
所以(k-10)/(-21)= 5/(k+12)= 1/3，
解得k=3有解，

那么k=3的时候，
矩阵的秩就为2，
k不等于3的时候，
矩阵的秩就为3

这种题目技巧的话，就是用初等变换将原矩阵尽可能化简，
使矩阵成为阶梯矩阵，这样才便于讨论

Answer 2

r1-r3,r2-3r1
0 k-10 5 1
0 -21 k+12 3
1 10 -6 1

r2-3r1
0 k-10 5 1
0 9-3k k-3 0
1 10 -6 1

这时已经是广义上的梯矩阵了
若看不出来就交换一下行列

交换行
1 10 -6 1
0 k-10 5 1
0 9-3k k-3 0

交换列
1 1 10 -6
0 1 k-10 5
0 0 9-3k k-3

所以 k=3 时 r(A)=2. 否则 r(A)=3.