Question

抛物线y=x²-2x-3与x轴交AB两点（A点在B点左侧）直线L与抛物线交予A,C两点，其中C的横坐标为2.

（1）求A,B两点坐标的及直线AC的函数表达式；
（2）P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线的抛物线上的动点，在x轴上是否存在F点，使A,C,F,G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所以满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）由 x^2-2x-3=0 得 x1= -1 ，x2=3 ，
因此 A、B 坐标分别为（-1，0），（1，0）。
令 x=2 ，则 y=4-4-3= -3 ，因此 C 坐标为 （2，-3），
设 AC 的函数表达式是 y=ax+b ，
将 A、C 坐标代入可得 -a+b=0 ，且 2a+b= -3 ，
解得 a= -1 ，b= -1 ，
因此直线 AC 的函数表达式是 y = -x-1 。
（2）设 P 点的横坐标为 x ，其中 -1<x<2 ，
则 |PE|=(-x-1)-(x^2-2x-3)= -x^2+x+2= -(x-1/2)^2+9/4 ，
因此当 x= 1/2 时，|PE| 最大 ，最大值为 9/4 。
（3）设 F（m，0），G（n，n^2-2n-3），
因为四边形 ACFG 是平行四边形，
则 AF 的中点与 CG 的中点重合 ，
即 -1+m=2+n ，n^2-2n-3-3=0 ，
解得 n=1±√7 ，m=n+3=4±√7 ，
因此，存在 F1（4+√7，0）和 F2（4-√7，0）使 ACFG 为平行四边形。

Answer 2

解：（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴当 x=1/2时，PE的最大值= 9/4．
(3)假设存在平行四边形
xf -1 =2 + xg
yg - 3 = 0 +0;
yg = 3
代入方程y=x^2-2x-3
求出 xg1= 1 +根号（7）,xg2 = 1- 根号（7）
符合条件，代入
xf1 = 4 + 根号（7)
xf2 = 4 - 根号（7）

Answer 3

那个第三问貌似F有四个
解：
（3）由（2）知，C点到x轴的距离为3，分别过(0，3) ，(0，-3)作y轴的垂线与抛物线交于点G（如图），
①把y=3代入y= x2-2x-3中，得x=1±√7，∴G(1+√7，3) 或G(1-√7，3)
∵GF∥AC，设直线GF 的函 数表达式为y=-x+m，把G点坐标代入，得m=4±√7，
∴F (4+√7，0) 或F (4-√7，0)
②把y=-3代入y= x2-2x-3中，得x=0或x=2，∴G(0，-3)
∵GC∥AF，GC=AF，且∴F (1，0)，或F（-3,0）

Answer 4

1.令y=0，解得或
∴A（－1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）-----（3分）
∴直线AC的函数解析式是y=－x－1
2.设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），E（
∵P点在E点的上方，PE=
∴当时，PE的最大值=
3.存在4个这样的点F，分别是
 【解析】略