Question

求不定积分，要步骤！

Answer 1

√(2x-x²)=√[1-(x-1)²]≥0
有-1≤(x-1)≤1，设sin t=x-1，-π/2≤t≤π/2，cos t≥0，d x=d sin t=cos t d t
积分√(2x-x²)dx=积分cos t √(1-sin²t) d t=积分cos²t dt=积分(1+cos2t)/2 dt
=t/2+sin 2t/4=t/2+sint cost/2=t/2+sint √(1-sin²t)=acr sin (x-1)+(x-1)√(2x-x²)
所以原式=acr sin (x-1)+(x-1)√(2x-x²)-积分x²dx
=acr sin (x-1)+(x-1)√(2x-x²)-x^3/3

追问

可是答案有误吗？

追答

对不起，我算错了，第四到六行改为：
=t/2+sin 2t/4=t/2+sint cost/2=t/2+sint √(1-sin²t)/2=[acr sin (x-1)]/2+[(x-1)√(2x-x²)]/2
所以原式=[acr sin (x-1)]/2+[(x-1)√(2x-x²)]/2-积分x²dx
=[acr sin (x-1)]/2+[(x-1)√(2x-x²)]/2-x^3/3
arc sin x是奇函数，arc sin x=arc sin -x
与答案相同，

追问

能否使用分部积分的方法解题
谢谢

Answer 2

分两步，x^2的积分很好算，前一个含根号的积分可以用换元法，2x-x^2=1-(x-1)^2;令x=1+cos(t)

Answer 3

应该用换元积分，令x=1+cosθ

追问

求步骤，谢谢！

追答

哎，数分离我已经比较遥远了，好久没用了，忘得差不多了，只提供个思路，也不知道对不，抱歉啊