Question

高中数学题基本初等函数~按题目要求做！

函数f x 的定义域为R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1 求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1。请问怎么求得当x<0时,有f(x)>1的？请详细讲解一下！

Answer 1

证明：令m=n=0则f（0）=0或1
若f（0）=0，令m=1，n=0则f（1）=0又当x>0时,0<f(x)<1 ∴f（0）=0（舍去）
∴f（0）=1
设x1＜x2，则f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）∴f（x2）/f（x1）=f（x2-x1）
∵x1＜x2∴x2-x1＜0∴0＜f（x2-x1）＜1∴0＜f（x2）/f（x1）＜1
∴f（x1）＞f（x2)∴f（x）为减函数
∴当x＜0时f（x）＞f（0）即f（x）＞1.

Answer 2

x>0时，0<f(x)<1
=> 当m>0,n>0时,m+n > n, f(m+n) = f(m)*f(n) < f(n)
=> x>0时,f(x)单调递减。

f(0) = f(0)*f(0) => f(0) = 0 或 f(0)=1
当f(0) = 0 , m>0 时，f(m+0) = f(m)*f(0) = 0 与题意矛盾
f(0) = 1
当m>0：
f(0) = f(m)*f(-m) = 1 => f(-m) = 1/f(m) => 当x<0时，f(x)单调递减。

所以x<0时，f(x)>f(0)=1
f(x)>1
希望能帮到你祝学习进步哦！

Answer 3

因为f（m+n）=f(m)f(n)
所以有f(m+0)=f(0)f(m)
故f（0）=1
设m>0,n=-m<0
f(0)=f(-m+m)=f(m)f(-m)=1
由于m>0
0<f(m)<1
即f（-m）>1
故x<0,有f(x)>1