Question

基本不等式最值问题解题技巧

面对不同问题不知道怎么入手、除了所谓的一正二定三相等不知道还有没有什么通用的方法或者如何思考。以下是一些我的错题、解题过程已经知道、希望得到这些题的思路，如实用加分、
1 x,y∈R+，且1/x+9/y=1,当x=__；y=__时，x+y有最小值
2 若正数2ab=a+b+5，则a+b的取值范围是__
3 x,y∈R+，2x+8y-xy=0，求x+y最小值
4 当x大于0时，求3x/（x^2+4）的最大值
5 已知，在直角三角形中，斜边长为c，两条直角边长为a，b，求证：a+b小于等于√2c，并指出取等号时三角形的形状

Answer 1

1.乘法技巧
（x+y）=（x+y）（1/x+9/y）=1+9+9x/y+y/x≥10+6=16
当9x/y=y/x，即y=3x，x+y=16，得x=4，y=12
2.2ab≤（a+b）²/2，a+b+5≤（a+b）²/2，即（a+b）²-2（a+b）-10≥0，还有a+b＞0
得a+b≥1+√11
3.同除以xy，得2/y+8/x=1，转化到问题（1）
（x+y）=（x+y）（2/y+8/x）=2+8+2x/y+8y/x≥10+8=18
2x/y=8y/x，即x=2y，x+y=18，得x=12，y=6
4。3x/（x²+4）=3/[x+（4/x）]，x+（4/x）≥4，于是3x/（x^2+4）≤3/4
5.a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=c²，于是2ab=（a+b）²-c²，而类似问题（2）
2ab≤（a+b）²/2
所以（a+b）²-c²≤（a+b）²/2
得2c²≥（a+b）²
即（√2）c≥a+b
【这些思路和技巧非常重要】

Answer 2

根据问题（求最大值还是最小值）确定公式，再将已知（如2x+8y-xy=0）凑成公式...
另，二次函数可用配方法求