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研修总结：如何整体把握高中数学课程，针对课程内容进行主线分析

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研修总结： 如何整体把握高中数学课程，针对课程内容进行主线分析 南昌市铁路一中 高中数学：曾强1. 函数主线高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。2.函数与其他内容的联系函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出的体现了函数思想。(1)函数与方程用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与 x 轴交点的横坐标，即零点的横坐标，因此，解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x) 的零点的横坐标，从而，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与 x 轴的交点问题。函数图形与 x 轴的交点是函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？这是解决方程问题的基本思想。（2）函数与数列数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数，离散函数是相对于定义域为实数或者实数的区间上的函数而言的。数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。在高中和大学，我们所遇到的大部分函数都是“好函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。数列在研究这些连续函数中发挥着重要作用。（3）函数与不等式（4）函数与线性规划线性规划问题是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，在这里，目标函数实际上是二元函数，在具体问题中，学生是不难接受这个概念；接着，需要确定目标函数的可行域（由约束条件确定目标函数的定义域），用平面区域图形可以非常清晰地表达可行域（目标函数的定义域）的特征，可行域的边界是由“直线围成的区域”，其边界上定点的个数是有限的；最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，为此，认识目标函数的变化趋势，使用等高线（其上函数值相等的平面上的直线）可以直观地给出了目标函数的变化趋势。（5）函数与算法在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。循环结构是理解算法的一个难点，难在对于循环变量的理解。循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，给循环变量每赋一次值，就执行一次循环。循环变量使得循环体得以“循环”，循环变量控制了循环的“开始” 和“结束”，是刻画循环结构的关键。用函数来刻画循环变量，把循环变量看作“运算次数”的函数。总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列 3 、 4 中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。3. 几何主线（1）几何的教育功能我们常常听到这样的一些词，空间想象能力，“几何直观”能力，把握图形能力，几何洞察能力，等等，这些词都是一些数学家提出来的，“空间想象能力”是我国著名数学家华罗庚提出的，“几何直观”能力是本世纪最著名的数学家希尔伯特提出的，他写了一本重要的著作“直观几何”，“把握图形能力”是著名数学家、本世纪最有影响的数学教育家弗赖登塔尔提出的，“几何洞察能力”是由著名华人数学家项武义提出的（我们没有能考证这些词是否是由他们最早提出的）。这些词的内涵可能有些不同，我们感到这些词的基本含义是相同的，这些能力不仅对数学研究是极为重要的、基本的，对于数学教育、对于数学课程的设计同样是重要的、基本的。培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而且是整个数学课程的基本任务。因此，几何是贯穿于整个高中数学课程中的主线之一，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识相关内容的数学本质。（2）中学几何研究的对象中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。 （3）几何研究图形的方法中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。（4）几何内容的设计几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。另一部分是设计了相应的几何内容。高中数学课程中的几何内容是分层设计的，大体上包括三大部分：一部分在必修课程中，一部分在选修 1 、 2 课程中，一部分在选修 3 、 4 的课程中。4．运算主线对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、 “交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。 （1）对运算的认识运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、到多项式等。数的运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等，都是数学中的基本运算。（2）运算的作用A．运算与推理 B．运算与算法C．运算与恒等变形（3）运算内容的设计（4）算法主线（5）算法的作用5．高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用。 （ 1 ）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力我们常常说数学是思维的体操，能够训练学生的思维能力。算法作为数学的一个基本内容，可以帮助学生清晰地思考问题，提高逻辑思维能力。（ 2 ）算法学习有助于学生全面的理解运算很多时候，人们存在一些误解，认为只有几何中才有证明，代数中“没有证明，认为运算就是按照各种运算法则进行加、减、乘、除，从而学习运算就是背诵书本中给出的计算法则，形成一些基本的计算技巧，也就是说，能够根据熟记的法则，迅速的计算出给定式子的正确答案。算法可以帮助我们改变这种误解。每一个算法都是一个证明——构造型的证明，著名数学家吴文俊提出的“机器证明”就是通过算法实现的，在信息时代，这种证明将会受到越来越大的重视。“运算”是实施这种证明的手段，只有这样计算机才能帮助我们。 （ 3 ）算法学习有助于提高学生的信息素养信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式。掌握和使用信息技术已是现代人必备的素养。在高中数学课程中也开设了信息技术课程。信息技术以计算机技术为核心，而计算机技术的核心则是算法。因此，算法的学习有助于学生理解信息技术的本质，提高学生的信息素养。算法的基本结构算法的基本语句算法内容的设计6．统计概率主线（1）数据处理的能力（2）统计注重过程（3）统计采用的案例的教学方式（4） 统计是一种归纳的思维（5）随机的思想（6）统计中的随机思想7．数学应用主线（1）对应用的认识A．发展学生的应用意识的背景。知识的背景和对实际问题的数学描述。在高中数学课程中，学习了一些重要的数学概念，例如，函数、数列、算法、 统计、概率、向量、线性规划、圆锥曲线、计数原理、导数等等，这些概念都有着丰富的实际背景，了解这些实际背景对于理解和应用这些数学概念是非常重要的，可以使这些抽象的数学概念变得生动、具体。下面我们通过一些实例来说明。（ 2 ）对数学模型的认识和在实际中的直接应用（ 3 ）经历数学建模的过程抓住这些主线所构成的知识网，就可以更好地把握高中数学课程，了解实质，提高教学和学习的效率，当然，也会提高解题能力，应考能力。学习高中课程应该这样，在以后的大学学习、在工作中学习，也应该这样。著名数学家 华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”。读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。现在，我们的中学教师非常重视细节，这是好的传统，应该保持，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要。