Question

已知x,y满足方程9x2+16y2=144,则x+y的最大值为？

我想问的是
要是用线性规划方法，令x+y=z,y=-x+z，z的最大值就是与椭圆交点直线的截距最大值
那么直线y=-x+z与椭圆哪个交点得到的z最大？，那个交点怎么求？
谢谢
要是有其他方法也可以，尽量把过程写详细点，拜托了

Answer 1

将方程变形：y=根号(144-9x^2)/16＝3/4根号（16－x^2) (x^2-16<=0)
y=-3/4根号（16－x^2) (x^2-16<=0)

设F(x)=x+y
先计算y为正值的情况
F(x)=x+y=x+3/4(根号（16-x^2))
求导：
F'(x)=1-3x/(4*根号下（16－x^2))
令其＝0，得出x=16/5,代入F(x)=5

再看负y为负的情况

F(x)=x+y=x－3/4(根号（16-x^2))

求导：
F'（x)=1+3x/(4*根号下（16－x^2))
令其＝0，得x=-16/5 代入F(x)=-5

综上 x+y 最大值为5，最小值为－5

追问

那如果用线性规划，该怎么做呢？

追答

如果用线性规划解，你让我琢磨一下，想出来后给你附上！

Answer 2

x2/16+y2/9=1,设x=4cosθ，y=3sinθ,则x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+φ),最大值为 5

Answer 3

x2/16+y2/9=1,设x=4cosθ，y=3sinθ,则x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+φ),最大值为 5

Answer 4

方法一利用不等式：x^2+y^2>=(x+y)^2/2，所以(x+y)^2<=2,所以x+y<=根号2。
方法二采用换元法：令x=cosa,y=sina,-π<=a<=π；
cosa+sina=根号2*sin(a+π/4）<=根号2。所以x+y的最大值为根号2。