Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC,点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E，连接AD,BD.

（1）求证：∠ADB=∠E。
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由。
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径。

Answer 1

第一个问题：
∵BC∥ED，∴∠ABC＝∠E。
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠E＝∠C。
∵A、B、D、C共圆，∴∠ADB＝∠C，∴∠ADB＝∠E。

第二个问题：
当D为弧BC的中点时，DE是⊙O的切线。
［证明］
∵弧BD＝弧CD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，而AB＝AC，∴AD垂直平分BC，
∴AD是△ABC外接圆的直径，又BC∥ED，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线。

第丛培三个问题：
令BC的中点为F，延长AF交⊙O于G。
显旅正然有：BF＝CF＝渗镇唯BC/2＝3。
∵AB＝AC、BF＝CF，∴AF⊥BF，∴AF＝√（AB^2－BF^2）＝√（25－9）＝4。
由相交弦定理，有：AF×FG＝BF×CF，∴FG＝BF×CF/AF＝3×3/4＝9/4。
∴AG＝AF＋FG＝4＋9/4＝25/4。
∵AD垂直平分BC，∴AG是△ABC外接圆的直径，∴⊙O的半径为25/2。