Question

初中几何

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是（），线段AM与DE的数量关系是（）
（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

Answer 1

（1）AM⊥DE，DE=2AM
（2）上述结论依然成立，证明如下：
过A点作DE垂线与DE交于F，与BC交于G，只要证明G是BC中点即可。
过B和C分别作FG垂线BP、CQ
角BAP+角DAF=180-角DAB=90，角DAF+角ADF=90
所以角BAP=角ADF，又AD=AB，所以三角形ADF与BAP全等，AF=BP
同理可证AF=CQ，从而BP=CQ
又，BP//CQ，易证三角形BPG全等于CQG，则BG=CG，所以G是BC中点（与M重合）
即结论AM⊥DE成立
另根据上述证明过程有：DF=AP，EF=AQ，PM=QM
所以DE=DF+EF=AP+AQ=AM+PM+AM-QM=2AM，证毕

追问

有图吗？

追答

你按照我写的过程自己画图吧，我做几何题的时候习惯只在脑子里画图，不画在纸上的。

Answer 2

(1) AM垂直于DE
可以从四个角判断定 处长MA到DE于P
由已知条件知AM=B=CM直角三角形锐角为30度，60度
角BMP=120
角DBM=45+30=75=BDP
所以角BMP=90

数量关系是AM=1/2 DE 因为三角形DAE全等于三角形BAC 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）

Answer 3

1）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．
∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABG=∠DAE．
再证：△DAE≌△ABG
∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．
延长MN交DE于H，
∵∠BAG+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．

（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．
∵在△FAB和△EAD中，
FA=AE∠BAF=∠EADBA=DA​
∴△FAB≌△EAD（SAS）
∴BF=DE，∠F=∠AEN，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．
∴FB⊥DE．
又∵CA=AF，CM=MB．
∴AM∥FB，且AM=12FB，
∴AM⊥DE，AM=12DE．

Answer 4

图1，△ABC=△AED，所以BC=DE。又因为 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半所以，AM=1/2DE；位置关系是不是中线和斜边的关系啊。图2应该是关系改变了，理由不知道。几何扔了二十年了都忘记了。