Question

y=√x2+1+√(2-x)2+4的值域

可否用均值不等式做出来

Answer 1

本题用判别式法、几何法可求。以下以几何法为例：
显然y>0
将函数变形为y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√{(x-2)^2+[0-(-2)]^2}
令P(x,0)，A(0,1)，B(2,-2)
则上述函数表示点P到点A和B的距离之和
根据几何关系知，PA+PB最小时，P一定在AB直线上，且AB与x轴的交点即P。此时PA+PB最小为AB
所以ymin=(PA+PB)min=AB=√[(0-2)^2+(1+2)^2]=√13
于是得到函数的值域为[√13，+∞)

追问

不用几何法能否做下，谢谢

追答

用判别式法，就是将y看成参数，函数式看成方程
经过两次根式有理化后（即两次平方），可得到关于x的二次方程
因为x是存在的（函数定义域就是指的x的取值范围），即方程有解，所以判别式>=0，由此可得到关于y的不等式，解之便可得到y的取值范围