Question

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一动点，PE垂直MC,PF垂直MB,垂足分

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一动点，PE垂直MC,PF垂直MB,垂足分别为点E,F.（1）当该矩形的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF是菱形？（2）在题（1）的基础上，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF是菱形？此时四边形PEMF还可以称为什么图形？

Answer 1

1,答:长:宽=2:1时.(即BC=2AB）

证明:因ABCD矩形,所∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

又因AD=2AB,且MAD点,所AB=AM=MD

所△BAM和△MDC等要直角三角形.

所∠AMB=∠DMC=45°

所∠BMC=90°

因四边形PEMF,∠PEM=∠EMF∠MFP=90°

所四边形PEMF矩形.

2,答:当P运动BC点时,矩形PEMF正方形.

证明:由1问知,四边形PEMF矩形

因AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,所∠ABM=∠MCD=45°

所MC=MB,

△BFP和△CEP

∠FBP=∠ECP

∠FBP=∠CEP

BP=CP

所△BFP和△CEP全等

所FP=PE

因矩形FPEM邻边FP,PE相等

所矩形FPEM正方形.
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