Question

高二数学 解析几何

1.直线l经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距均为正,交点分别为A,B,且|pa||pb|的积最小，求直线l的方程
2.直线l经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距均为正,交点分别为A,B,且|pa|=|pb|，求直线l的方程 求 过程 过程

Answer 1

1)
所以直线l的方程式是：y-1=k(x-4),y=k(x-4)+1
y=0,x=4-1/k>0;1/k<4
x=0,y=1-4k>0,k<1/4
|pa||pb|=√{[4^2+(1-1+4k)^2][(4-4+1/k)^2+1^2]}=4√[(1+k^2)(1+1/k^2)]=4(1+k^2)/k=4(1/k+k)
上式在k=1/k，即k=±1时，有最小值8
所以k=-1
所以直线l的方程式是：y=-(x-4)+1=5-x

2)
同1）|pa|=|pb|,则4^2+(1-1+4k)^2=(4-4+1/k)^2+1^2,16(1+k^2)=(1+k^2)/k^2,k=±1/4
所以k=-1/4
所以直线l的方程式是： y=-(x-4)/4+1=2-x/4

Answer 2

由直线l在两坐标轴上的截距均为正，可设其倾斜角的补角为θ，则θ为锐角。
1、由直线l经过点P(4，1)，得|PA||PB|=(4/cosθ)(1/sinθ)=8/sin2θ，
∴当sin2θ=1，即θ=45º时，|PA||PB|取最小值8，此时l的斜率为-1，
∴所求直线l的方程为y-1= -(x-4)，即x+y-5=0。
2、|PA|=|PB|，即4/cosθ=1/sinθ，得tanθ=1/4，l的斜率为k= -tanθ=-1/4，
∴所求直线l的方程为y-1= (-1/4)(x-4)，即x+4y-8=0。

Answer 3

设截距式，利用均值不等式进行解题，口算一下 答案应该是17 两个结局为8，2