Question

用洛必达法则求极限

Answer 1

1、先用等价无穷小代换，ln(1+1/x)等价于1/x=x^(-1)
原式=lim[x→+∞] x^(-1)/arccotx
洛必达
=lim[x→+∞] -x^(-2)/(-1/(1+x²))
=lim[x→+∞] (1+x²)/x²
=1

2、lim[x→0+] lncotx/lnx
洛必达
=lim[x→0+] -(csc²x/cotx)/(1/x)
=lim[x→0+] -xtanx/sin²x
等价无穷小代换
=lim[x→0+] -x²/x²
=-1

3、lim[x→0+] xln²x
=lim[x→0+] ln²x/x^(-1)
洛必达
=lim[x→0+] -2(lnx/x) / x^(-2)
=lim[x→0+] -2(lnx) / x^(-1)
洛必达
=lim[x→0+] (2/x) / x^(-2)
=lim[x→0+] 2x
=0

4、lim[x→0+] x^sinx
=lim[x→0+] e^(sinxlnx)
=e^[lim[x→0+] (sinxlnx)]
等价无穷小代换
=e^[lim[x→0+] (xlnx)]
=e^[lim[x→0+] (lnx)/x^(-1)]
洛必达
=e^[lim[x→0+] -(1/x)/x^(-2)]
=e^[lim[x→0+] -x]
=e^0
=1

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