Question

如图,AB是圆O的直径,CD切圆O于点C，AD交于圆O点E，当AD垂直于CD，AD=4，AB=5时，求AC、DE的长度。

Answer 1

解：连接OC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵CD切圆O于C
∴OC⊥CD
∵AD⊥CD
∴OC∥AD
∴∠DAC＝∠OCA
∴∠OAC＝∠DCA
∵直径AB
∴∠ACB＝90
∴∠ACB＝∠ADC
∴△ACB∽△ADC
∴AB/AC＝AC/AD
∴5/AC＝AC/4
∴AC＝2√5
∴CD＝√（AC²-AD²）＝√（20-16）＝2
又∵CD切圆O于C
∴∠DCE＝∠DAC
∵∠ADC＝∠CDE
∴△ACD∽△CED
∴DE/CD＝CD/AD
∴DE/2＝2/4
∴DE＝1

追问

又∵CD切圆O于C
∴∠DCE＝∠DAC
这步求解释

追答

这是切线的性质：
∵∠DAC、∠DCE所对应圆弧都为劣弧CE
∴∠DAC＝∠DCE
当然也可以通过∠OCD＝90去绕着证明，不过太费劲了，也没必要。

Answer 2

解：连结OC，AC，易知：OC⊥CD，∠BAC=∠CAD，∴Rt△BAC∽Rt△CAD，BA/AC=CA/AD，AC²=20，AC=2√5，CD=2，据切割线定理：CD²=DE·DA，DE=1

追问

据切割线定理：CD²=DE·DA，DE=1

这步求解释

追答

如不知道切割线定理，也可连结CE，证明：Rt△CDE∽Rt△ADC即可得出以上结论

Answer 3

我也懂了