Question

如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是BA延长线上一点，点E在AC上,且AD=AE.求证：DE垂直于BC

Answer 1

证明：
作AF⊥BC于点F
∵AB=AC
∴∠BAF=∠CAF
∵AD=AE
∴∠D=∠AED
∵∠BAC=∠D+∠AED=∠BAF+∠CAF
∴∠BAF=∠D
∴AF∥DE
∵AF⊥BC
∴DE⊥BC

Answer 2

证明:∵AD=AE.
∴∠D=∠AED=(1/2)∠BAC;
又AB=AC,作AF垂直BC于F,则:∠BAF=(1/2)∠BAC.
∴∠D=∠BAF,得DE∥AF.
∵AF⊥BC.
∴DE⊥BC.

Answer 3

设DE与BC交于K，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠D=∠DEA=∠CEK
∴∠DKB=∠EKC，∵∠DKB+∠EKC=180°，∴∠DKB=∠EKC=90°，∴DE⊥BC

Answer 4

证明：延长DE交BC于H
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵AD＝AE
∴∠D＝∠AED
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，又∠BAC＝∠D＋∠AED
∴2∠D＋2∠B＝180°
∴∠B＋∠D＝90°
∴∠EHC＝∠B＋∠D＝90°
∴DE⊥BC