Question

有一张长40厘米,宽30厘米的硬纸板,在四个角上各剪去一个同样大小的正方形（边长为整厘米）

后准备做一个长方体纸盒，求被剪后最大长方体体积

Answer 1

陈千帆：您好。
没学过高深的数学，只能笨算了。
设四角剪去5厘米的正方形：35cm×25cm×5＝3475cm³
设四角剪去10厘米的正方形：30cm×20cm×10cm＝6000cm³↑
设四角剪去15厘米的正方形：25cm×15cm×15cm＝5625cm³↓
设四角剪去13厘米的正方形：27cm×17cm×13cm＝5967cm³↓
设四角剪去12厘米的正方形：28cm×18cm×12cm＝6048cm³↑
★设四角剪去11厘米的正方形：29cm×19cm×11cm＝6061cm³↑
设四角剪去10.5厘米的正方形：29.5cm×19.5cm×10.5cm＝6040.125cm³
比较一下：
四角剪去11厘米的正方形做成的纸盒体积最大为6061立方厘米。
恕我数学底子薄弱，只能这样笨算了。祝好，再见。

Answer 2

角ABC =（180-36）/ 2 = 72度，所以角ABD =角CBD = 72/2 = 36度。

角ABD =角A，三角形ABD是一个等腰三角形。

角C = 72度，角CBD = 36度，所以在BDC = 180-36-72 = 72度=角C三角形DBC的角度是一个等腰三角形。

Answer 3

当被剪去的正方形的边长为10厘米时，长方形的体积为最大。
所以最大体积=（40-10）*（30-10）*10=6000 立方厘米

Answer 4

假设减去正方形边长为xcm，则做的纸盒长（40-2x）cm，宽(30-2x）cm，高为xcm（想想为什么是减2倍？）
纸盒体积F（x）=（40-2x）（30-2x）x （x＜15）
化简F（x）=4（x³-35x²+300x）
求导F′（x）=3x²-70x+300，当F′（x）=0时有极值，令F′（x）=0，解得x1≈5.66，x2≈17.68（舍去）
当x﹙0,5.66）时，F′（x）＞0，单调递增；当x﹙5.66，15）时，F′（x）＜0，单调递减；当X=5.66时有最大值，但边长为整数（很明显，当x=6时，有最大值）
F（5）=3000cm³，F（6）=3024cm³即最大体积

追问

首先感谢您的辛勤解答，但这是一题小学奥数题，有不用这么深奥的知识就能解出来的方法吗？

Answer 5

设减去的正方形的边长为x
被剪后最大长方体体积V=x*(40-2x)(30-2x)=x*(1200-280x+x^2)=1200x-280x^2+x^3