证明 若fx在【a,正无穷】内连续,又limx->正无穷fx存在且有穷,则fx在【a.正无穷】上一致连续
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设 当x-->正无穷时， f(x) ---> M
任给 小a>0, 存在 x0>a, 使得 当 x>x0时， |f(x)-M| < a/2.
而 因为 [a, x0+1] 是有界闭区间，所以存在 0<b<1/2, 使得 当 a<= x1<x2<= x0+1 且x2-x1<b 时，
|f(x1)-f(x2)|<a
于是 任给 a<= x1<x2 且x2-x1<b 时
如果 x1<=x0, 则 x1, x2 同属于 [a, x0+1] ==》|f(x1)-f(x2)|<a
如果 x1 > x0, 则
|f(x1)-f(x2)|<=|f(x1)-M|+|f(x2)-M|< a/2 + a/2 =a
根据一致连续的定义， 有 f(x)在【a.正无穷】上一致连续
任给 小a>0, 存在 x0>a, 使得 当 x>x0时， |f(x)-M| < a/2.
而 因为 [a, x0+1] 是有界闭区间，所以存在 0<b<1/2, 使得 当 a<= x1<x2<= x0+1 且x2-x1<b 时，
|f(x1)-f(x2)|<a
于是 任给 a<= x1<x2 且x2-x1<b 时
如果 x1<=x0, 则 x1, x2 同属于 [a, x0+1] ==》|f(x1)-f(x2)|<a
如果 x1 > x0, 则
|f(x1)-f(x2)|<=|f(x1)-M|+|f(x2)-M|< a/2 + a/2 =a
根据一致连续的定义， 有 f(x)在【a.正无穷】上一致连续
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