函数f(x)=根号[(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6]
函数f(x)=根号[(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6](1)若f(x)的定义域为R。求实数a的取值范围.(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.过程...
函数f(x)=根号[(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6]
(1)若f(x)的定义域为R。求实数a的取值范围.
(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.过程细 展开
(1)若f(x)的定义域为R。求实数a的取值范围.
(2)若f(x)的定义域为[-2,1],求实数a的值.过程细 展开
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(1)
如定义域为R, 则(1-a²)x²+3(1-a)x+6 ≥ 0在R范围内恒成立
首先a = 1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6, 满足要求
a = -1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6x + 6, 不满足要求
a ≠ 1时: (1-a²)x²+3(1-a)x+6必须为开口向上而且与x轴无交点的抛物线,即:
1-a² > 0且∆ = 9(1-a)² - 4*6(1-a²) = 3(11a² - 6a - 5) = 3(11a+5)(a-1) < 0
由1-a² > 0得到 -1 < a < 1
由∆ = 3(11a+5)(a-1) < 0得到 -5/11 < a < 1
结合起来: -5/11 < a < 1
再考虑到a = 1, 实数a的取值范围是 -5/11 < a ≤ 1
(2)
若f(x)的定义域为[-2,1], 则抛物线g(x) = (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = c(x+2)(x-1) = cx²+cx-2c
比较系数c = -3 (常数项)
1-a² = -3, a = ±2 (二次项)
3(1-a) = -3, a = 2 (一次项)
结合起来: a = 2
如定义域为R, 则(1-a²)x²+3(1-a)x+6 ≥ 0在R范围内恒成立
首先a = 1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6, 满足要求
a = -1时, (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = 6x + 6, 不满足要求
a ≠ 1时: (1-a²)x²+3(1-a)x+6必须为开口向上而且与x轴无交点的抛物线,即:
1-a² > 0且∆ = 9(1-a)² - 4*6(1-a²) = 3(11a² - 6a - 5) = 3(11a+5)(a-1) < 0
由1-a² > 0得到 -1 < a < 1
由∆ = 3(11a+5)(a-1) < 0得到 -5/11 < a < 1
结合起来: -5/11 < a < 1
再考虑到a = 1, 实数a的取值范围是 -5/11 < a ≤ 1
(2)
若f(x)的定义域为[-2,1], 则抛物线g(x) = (1-a²)x²+3(1-a)x+6 = c(x+2)(x-1) = cx²+cx-2c
比较系数c = -3 (常数项)
1-a² = -3, a = ±2 (二次项)
3(1-a) = -3, a = 2 (一次项)
结合起来: a = 2
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(1)(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6≥0在R恒成立
当1-a^2=0时,a=1,符合
当1-a^2≠0时,1-a^2>0且Δ≤0,得-5/11<a<1
所以-5/11<a≤1
(2)因为f(x)的定义域为[-2,1],所以(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6=0的两个根为-2,1,
-2+1=3(1-a)/(a^2-1),-2x1=6/(1-a^2),解得a=2
当1-a^2=0时,a=1,符合
当1-a^2≠0时,1-a^2>0且Δ≤0,得-5/11<a<1
所以-5/11<a≤1
(2)因为f(x)的定义域为[-2,1],所以(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6=0的两个根为-2,1,
-2+1=3(1-a)/(a^2-1),-2x1=6/(1-a^2),解得a=2
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