Question

已知CE为三角形ABC的角平分线，D为BC上一点，AD交CE于F。

（1）图1，若角BAC=角ADC=90°,求证:AE=AF.
(2)图2,若∠BAC=∠ADC≠90°,问(1)中结论还成立吗?

Answer 1

在△ABC与△ADC中
∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C
∴∠DAC=∠B
∵ce为△abc的角平分线
∴∠ECB=∠ACE
∵∠AEF=∠B+∠ECB
∠AFE=∠DAC+∠ACE
∴∠AEF=∠AFE
△aef是等腰三角形
故不论∠BAC=∠ADC是否等于90°
均有AE=AF.

Answer 2

(1)∵∠BAC=∠ADC=90°,CE为三角形ABC的角平分线,即：∠DCF=∠ACE
∴△ACE∽△DCF
∴∠AEC=∠DFC
又∵∠AFE=∠DFC
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF