Question

在ΔABC中，若acos²（C／2)＋ccos²(A／2)=3b／2 求证a+c=2b

Answer 1

∵A＋B＋C＝180°，∴sin（A＋C）＝sinB，∴sinAcosC＋cosAsinC＝sinB，
结合正弦定理，容易得到：acosC＋ccosA＝b。

∵a［cos（C/2）］^2＋c［cos（A/2）］^2＝3b/2，
∴2a［cos（C/2）］^2＋2c［cos（A/2）］^2＝3b，
∴a（1＋cosC）＋c（1＋cosA）＝3b，
∴a＋c＋acosC＋ccosA＝3b，而acosC＋ccosA＝b，∴a＋c＝2b。

追问

acosC＋ccosA＝b和∴a（1＋cosC）＋c（1＋cosA）＝3b怎么得的

追答

对追问的答复：
第一个问题：
由正弦定理，有：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，
∴sinA＝a/（2R）、sinB＝b/（2R）、sinC＝c/（2R），
分别代入到sinAcosC＋cosAsinC＝sinB中，得：
［a/（2R）］cosC＋［c/（2R）］cosA＝b/（2R），两边同乘以2R，得：
acosC＋ccosA＝b。

第二个问题：
应用了倍角公式：cos2θ＝1－2［cos（θ/2）］^2。