Question

若函数f(x)=(x-4)/(mx方+4mx+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是________.

mx^2+4mx+3≠0怎么得到下一步
Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0
mx^2+4mx+3≠0怎么得到Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0

Answer 1

m≠0时，分母 是个2次函数，作为分母 在X∈R的时候必须不能存在等于0的情况， 对应函数关系就是分母这个2次函数
与X轴不能有交点，y=mx^2+4mx+3≠0 也即 Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0
因为y=mx^2+4mx+3 Δ如果≥0，则比与X轴有交点，也即在X∈R的时候 分母存在=0的情况

m=0时候 分母mx^2+4mx+3=3 显然不为0，所以m=0 也是符合题意的m的取值
Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0 得出 0＜m＜ 3/4

综合以上讨论：0≤m＜3/4

追问

请问mx^2+4mx+3≠0怎么得到Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0 ????

追答

可以看做是函数 y=mx^2+4mx+3 ≠0，m≠0是 是二次函数，是抛物线，抛物线要一定满足y=mx^2+4mx+3 ≠0则 只需图形与X轴无交点也即 二次方程mx^2+4mx+3 =0 无实数解

一元二次方程无实数解的条件条件就是根判别式 △＜0

Answer 2

y=(x-4)/(mx^2+4mx+3)的定义域为R
则(mx^2+4mx+3)<>0
当mx^2+4mx+3=0时
1.M=0则3=0不符（舍去）
2.M<>0则
(4m)^2-4m*3>=0
m<0或m=>3/4
因为mx^2+4mx+3<>0
所以mx^2+4mx+3<0
所以0<=m<3/4

追问

请问mx^2+4mx+3≠0怎么得到Δ=(4m)^2-4m*3=16m^2-12m<0 ????

Answer 3

mx^2+4mx+3在函数表达式中处于分母的位置所以≠0。
在一元二次方程求根公式中，当Δ<0时，表示此方程无实跟，也就是说是方程等于0的X不存在。
当令方程=y时，此一元二次方程就变成了二次函数。当Δ<0时，表示函数图象与X轴没有交点，也就是说不论X取何值y都不会等于0。
16m^2-12m<0，此二次函数开口向上，与X轴有两个交点，即M1（0，0），M2（3/4，0），当0<M<3/4时，16m^2-12m才会<0,这样Δ也才会<0，原函数f(x))=(x-4)/(mx方+4mx+3)的定义域才能为R。m=0时候 分母mx^2+4mx+3=3 显然不为0，所以m=0 也是符合题意的m的取值
所以，实数m的取值范围是0≤m＜3/4