Question

一个高数题，求证当n趋近于无穷时，数列存在极限，并求出这个极限

Answer 1

由0＜X1＜1，及Xn+1=Xn(1-Xn),由归纳法至对任何n均有0＜Xn＜1，且0＜1-Xn＜1
所以Xn+1=Xn(1-Xn)＜Xn，所以Xn单调减少且有界，多用Xn有极限，设为X。
则由Xn+1=Xn(1-Xn)，两边取极限，得
x=x(1-x),解方程得X=0

追问

如何对Xn+1=Xn(1-Xn)两边取极限啊，谢谢

追答

就是当n趋向无穷大的时候，两边都存在极限且极限值相等。（取极限时对应项取相应的极限值即可）
左边为
limXn+1=X,

n→∞

右边为
limXn(1-Xn)=X（X-1),

n→∞

所以：X=X(1-X)