数学分析考研真题，曲线积分，求大神解答！ 50
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设∑是闭曲线L所围成的区域。
根据格林公式，
∫L (y^3-y)dx-2x^3dy
=∫∫∑ (-6x^2-3y^2+1)dxdy
下面看M=∫∫∑ (-6x^2-3y^2+1)dxdy
根据二重积分的意义，这个积分可以看作：
曲面z=-6x^2-3y^2+1的某一部分，与他在xoy上投影∑所形成的曲面圆柱体体积。
要使得体积最大，只要取到尽量大的z>=0的部分。
所以，把z=-6x^2-3y^2+1处于xoy平面上的部分全取了即可。
所以，只要∑是-6x^2-3y^2+1<=0
此时L就是：-6x^2-3y^2+1=0
也就是L：6x^2+3y^2=1
所得正向闭曲线为椭圆6x^2+3y^2=1
根据格林公式，
∫L (y^3-y)dx-2x^3dy
=∫∫∑ (-6x^2-3y^2+1)dxdy
下面看M=∫∫∑ (-6x^2-3y^2+1)dxdy
根据二重积分的意义，这个积分可以看作：
曲面z=-6x^2-3y^2+1的某一部分，与他在xoy上投影∑所形成的曲面圆柱体体积。
要使得体积最大，只要取到尽量大的z>=0的部分。
所以，把z=-6x^2-3y^2+1处于xoy平面上的部分全取了即可。
所以，只要∑是-6x^2-3y^2+1<=0
此时L就是：-6x^2-3y^2+1=0
也就是L：6x^2+3y^2=1
所得正向闭曲线为椭圆6x^2+3y^2=1
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