Question

已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)>0,f(1)=2

已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)>0,f(1)=2,若f[(4的x次方)-a]+f[6+（2的x+1）]>6对任意x恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

答：
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(1)=2
所以：f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6
令x=y=0得：f(0)=2f(0)，f(0)=0
令x-y>0，即x>y，则f(x-y)>0
所以：f(x-y)=f(x)+f(-y)>0
令x+y=0，y=-x，f(x+y)=f(x)+f(-x)=0
所以：f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数

因为：
f[(4的x次方)-a]+f[6+（2的x+1）]>6
所以：
f [4^x-a+6+2^(x+1) ] >f(3)恒成立

所以：
f(4^x+2×2^x+6-a)-f(3)>0
f(4^x+2×2^x+6-a)+f(-3)>0
f(4^x+2×2^x+6-a-3)>0
所以：4^x+2×2^x+3-a>0恒成立
设t=2^x>0，则t²+2t+1>a-2恒成立
所以：(t+1)²>1>=a-2恒成立
解得：a<=3

追问

聪明

追答

客气了