Question

已知f1,f2是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点,椭圆c的离心率为根号2/2,过左焦点f1的直线与

已知f1、f2是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点，椭圆c的离心率为根号2/2，过左焦点f1的直线与c相交于a，b两点，△abf2面积的最大值为3根号2，求椭圆c的方程。

Answer 1

椭圆x2/a2+y2/b2=1
焦点F1(-c,0),F2(c,0)

e=c/a=√2/2 a=√2c,b²=a²-c²=c
那么椭圆为x²/2+y²=c²
设直线l: x=ty-c代入椭圆方程得：
(ty-c)²+2y²=2c²
即(t²+2)y²-2tcy-c²=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
那么y1+y2=2tc/(t²+2)
y1y2=-c²/(t²+2)
∴|y1-y2|²
=(y1+y2)²-2y1y2
=4t²c²/(t²+2)²+4c²/(t²+2)
=(4t²c²+8c²)/(t²+2)²
=4c²/(t²+2)
t²+2≥2 ,|y1-y2|²≤2c²
∴当t=0时，|y1-y2|取得最大值√2c
此时，ΔABF2面积最大
S=1/2|F1F2|*|y1-y2|=1/2*2c*√2c=3√2
∴c²=3
椭圆方程为x²/6+y²/3=1