已知函数f(x)=ax+b/(1+x的平方)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5
问(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)小与0....
问(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)小与0. 展开
(2)用定义证明f(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)小与0. 展开
2个回答
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因为:f(1/2)=2/5
所以:a/2+b=1/2
因为:f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0,a=1
(1)f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则:f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为:-1<x1<x2<1;所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数
(3)f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2
又有-1<t-1<1,-1<t<1
即有0<t<1
综上所述,0<t<1/2
所以:a/2+b=1/2
因为:f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0,a=1
(1)f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则:f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为:-1<x1<x2<1;所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数
(3)f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
t-1<-t
t<1/2
又有-1<t-1<1,-1<t<1
即有0<t<1
综上所述,0<t<1/2
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