Question

已知函数f(x)=kx^3-3(k+1)x^2-k^2+1(k>0),函数f(x)的单调减区间为(0,4),当x>k,求证2√x>3-1/x

Answer 1

f'(x)=3kx^-6(k+1)x=0,
x1=0,x2=2(k+1)/k,k>0,
f(x)在（x1,x2)上递减，其余情况递增，
已知f(x)的单调减区间为(0,4),
∴2(k+1)/k=4,k+1=2k,k=1.
f(x)=x^3-6x^2,
x>k=1时2√x>3-1/x，①平方得
4x>9-6/x+1/x^2,
4x^3>9x^2-6x+1,
4x^3-9x^2+6x-1=(4x-1)(x-1)^2>0,
上式显然成立，逆推得①式成立。