已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M

已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN点A旋... 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: ; (2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明; (3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论) 展开
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(1)AH=AB;(2)数量关系成立,证明见试题解析;(3)6.


试题分析:(1)由三角形全等可以证明AH=AB;
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB;
(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
试题解析:(1)如图①AH=AB.
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.

∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,在Rt△AEB和Rt△AND中, ,∴Rt△AEB≌Rt△AND,∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,∴∠EAM=∠NAM=45°,在△AEM和△ANM中, ,∴△AEM≌△ANM.∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.
(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN 2 =MC 2 +NC 2 ,∴
解得 (不符合题意,舍去).∴AH=6.
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