Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG 2 ﹣GE 2 =EA 2 ．

Answer 1

解：（1）线段BH与AC相等。证明如下： ∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°， ∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°， ∴DB=DC，∠ABE=∠DCA， 在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA， ∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。 （2）证明：连接CG， ∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。 ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。 在△ABE和△CBE中， ∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE， ∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴EC=EA。 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG 2 ﹣GE 2 =EC 2 。 ∴BG 2 ﹣GE 2 =EA 2 。

（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可。 （2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案。