Question

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C． （1）求证：OD⊥AC；

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C． （1）求证：OD⊥AC；（2）若AE＝8，cosA＝ ，求OD的长．

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Answer 1

⑴证明过程见解析，⑵3

（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径 ∴∠ABC=90°，------------------2分 ∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C， ∴∠AOD+∠A=90°，-----------------------3分 ∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.            ----------------4分 （2）解：∵OD⊥AE，O为圆心， ∴D为AE中点 ，---------------------------5分 ∴ ，-------------------6分 又∵cosA= ，∴ = ∴AO=5--------------7分 ∴OD="3----------------------" -8分 （1）根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出