Question

设双曲线与椭圆 + =1有公共的焦点，且与椭圆相交，它们的交点中一个交点的纵坐标是4，求双曲线的标准方

设双曲线与椭圆 + =1有公共的焦点，且与椭圆相交，它们的交点中一个交点的纵坐标是4，求双曲线的标准方程。

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Answer 1

- =1

试题分析：解：因为椭圆 + =1的焦点为F 1 （0，-3），F 2 （0，3），故可设双曲线方程为  (a＞0，b＞0)，且c=3，a 2 +b 2 =9．由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为( ，4)，(- ，4)，因为点( ，4)[或(- ，4)]在双曲线上，所以有a 2 +b 2 =9，可知a 2 =4, b 2 =5故可知 - =1 点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是两者共同的特征设出双曲线的标准方程，解题时要善于抓住问题的关键点．