Question

（2014?茂名一模）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，

（2014?茂名一模）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：EM∥平面PAB；（2）求证：PC⊥AE；（3）求三棱锥P-ACE的体积V．

Answer 1

（1）证明：∵E为PD的中点，M为AD的中点，
∴在△PAD的中，ME∥PA…（1分）
又PA?平面PAB，ME?平面PAB…（2分）
则EM∥平面PAB，…（3分）
（2）证明：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，
∴BC=2

3

，AC=4．
取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=4，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（3）解：由（1）知AC=4，EF=

1

2

CD，且EF⊥平面PAC．
在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=60°，
∴CD=4

3

，得EF=2

3

．
则V=V_E-PAC=

1

3

?

1

2

?4?4?2

3

=

16 3

3