Question

（2014?高淳区一模）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：

（2014?高淳区一模）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：四边形MPNQ是菱形；（2）若AB=2，BC=4，求四边形MPNQ的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分别AD、BC的中点，
∴DM=BN，
∴四边形DMBN是平行四边形，
∴BM=DN，BM∥DN，
∵P、Q分别BM、DN的中点，
∴MP=NQ，MP∥NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵M、N分别AD、BC的中点，
∴DM=CN，
∴四边形DMNC是平行四边形，
∴∠DMN=∠C=90°，
∵Q是DN中点，
∴MQ=NQ，
∴四边形MPNQ是菱形．

（2）∵AB=2，BC=4，M为AD中点，Q为DN中点，
∴平行四边形DMBN的面积是

1

2

×2×4=4，
∴△DMN的面积是2，
∴△MQN的面积是1，
同理△MPN的面积是1，
∴四边形MPNQ的面积是1+1=2．