Question

如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时P

如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=______．

Answer 1

∵DN=AM=AN=1，∠A=90°，
∴由勾股定理求出汪巧友MN=

2

，
即MN值一定，
∴要使△MNP的周长最小，只要MP+NP最小即可，
过N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，连接MF交BD于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NDB=∠FDB=

1

2

∠ADC=45°，
∴∠DNG=∠DFG=90°-45°=45°，
∴∠DNG=∠NDG，∠DFG=∠FDG，
∴NG=DG=FG，
即N、F关于BD对称，
∴PN=PF，
∴MP+NP=MP+PF=MF，
即此时的PN+PM的值最宽清小，
∵BD⊥NF，NG=FG，
∴DN=DF=1=AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AM∥DF，
∴四边形AMFD是平行四边形困槐，
∴MF=AD=2，
即MP+NP=2，
故答案为：2．