Question

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求参数m的取值范围的集合M；（Ⅱ）设a，b? M，求

已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集．（Ⅰ）求参数m的取值范围的集合M；（Ⅱ）设a，b? M，求证：a+b＜ab+1．

Answer 1

（Ⅰ）设函数y=|x-3|+|x-4|，则y=

7?2x， (x≤3) 1 ，(3＜x≤4) 2x?7，(x＞4)

，画出其图象，

由图可知y_min=1，
要使不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集，需且只需m＞1，
∴m的取值范围的集合M=（1，+∞）；                                  
（Ⅱ）∵a，b∈M，
∴a＞1，b＞1，
∵a+b-（ab+1）=（a-ab）+（b-1）=（a-1）（1-b），
∵a-1＞0，1-b＜0，
∴（a-1）（1-b）＜0，
∴a+b＜ab+1．