Question

已知f（x）=x+mx（m∈R），（1）若函数y=log 12[f（x）+2]在区间[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围

已知f（x）=x+mx（m∈R），（1）若函数y=log 12[f（x）+2]在区间[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．（2）若m≤2，求函数g（x）=f（x）-lnx在区间[12，2]上的最小值．

Answer 1

（1）∵函数y=log 

1

2

[f（x）+2]在区间[1，+∞）上是减函数，
又y=log 

1

2

x在[1，+∞）上为减函数，
∴y=f（x）+2在[1，+∞）上为减函数，即y=f（x）在[1，+∞）上为减函数，①
要使函数有意义，则f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，②
对于①，可得f′(x)＝1?

m

x2

≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴m≤x²在区间[1，+∞）上恒成立，
∴m≤1；
对于②，f（x）+2＞0区间[1，+∞）上恒成立，
∴[f（x）+2]_min＞0，而y=f（x）+2在[1，+∞）上为减函数，
∴[f（x）+2]_min=f（1）+2＞0，
∴m＞-3．
综上所述，实数m的取值范围是（-3，1]．
（2）∵g（x）=f（x）-lnx，
∴g(x)＝x+

m

x

?lnx，则g′(x)＝1?

m

x2

?

1

x

＝

(x? 1 2 )2?(m+ 1 4 )

x2

，
①当m≤?

1

4

时，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）是[

1

2

，2]上的增函数，
∴g(x)min＝g(

1

2

)＝

1

2

+2m+ln2；
②当?

1

4

≤m≤2时，令g′（x）=0，解得，x1＝

1

2

?

m+ 1 4

(＜

1

2

)，x2＝

1

2

+

m+ 1 4

(∈[

1

2

，2])，
∵当x∈[

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