Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC的中点．（I）若AB＝2，AA1＝2，求点A到平面BEC1的距离；（Ⅱ）当A1

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为AC的中点．（I）若AB＝2，AA1＝2，求点A到平面BEC1的距离；（Ⅱ）当A1AAB为何值时，二面角E-BC1-C的正弦值为105？

Answer 1

（Ⅰ）由题意画出图形为：（即点A到平面的距离为h）

∵三棱锥为正三棱锥，且点E为AC的中点，∴BE⊥平面ACC₁A₁
又∵AB=2，AA₁=

2

，∴BE=

3

，
对于三棱锥A-BEC₁的体积为：

1

3

?

1

2

?BE?EC1?h＝

1

3

?

1

4

2

? 2?

3

?h=

6

3

故点A到平面BEC₁的距离为

6

3

．

（II）由题意画图如下：

由（I）可以知道平面BEC₁与平面ACC₁A₁垂直且交线为EC₁，
所以在平面ACC₁A₁中过点C作CM⊥EC₁，有三垂线定理可以做出已知的二面角的平面角为∠CNM，
不妨假设AB=1，则A₁A=x，在直角△ECC₁中利用三角形的面积相等可以得到：CM=

1 2 x

1 4 +x2

，
在直角三角形BCC₁中同理可得：CN=

x

1+x2

，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=

CM

CN

＝ 

1 2 x

1 4 +x2

 ×

1+x2

x

＝

10

5

?x=1或x=-1（舍）
所以当

A1A

AB

=1时，使得二面角E-BC₁-C的正弦值为

10

5

；
故答案为：比值1．